纯函数相关综合（4）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（4）（2019版）

——压轴系列

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【试题】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）．

（1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=k/x的图象上，则k=　  　；

（2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为　   　，∠BOB′的大小是　  　度．

（3）点P在抛物线y=x²﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围．

（4）抛物线y=（x﹣2）²+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值．

【图文解析】

（第（1）（2）小题均为常规基本题，不做分析，只给出解题过程）

（1）∵A（2，1）的变换点为A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=k/x中，得k=－2．

（2）点B（2，4）的变换点B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中．

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（4）抛物线的顶点坐标为（2，n），再由菱形的性质，点P'的坐标为（2，﹣n）．下面分两种情况：

①当点P在y轴左侧时，如下图示．

点P的坐标为(-2,-n).代入y=(x-2)²+n,

得-n=(-2-2)²+n，解得n=-8．

②当点P在y轴右侧时，

点P的坐标为（﹣n，﹣2）．

代入y=（x﹣2）²+n，得

﹣2=（﹣n﹣2）²+n．

解得：n₁=﹣2，n₂=﹣3．

如下图示，

综上所述,n=-8,n=-2,n=-3．

【反思】解题的关键是理解题意，画出符合题意的图形，再结合图象分析，同时注意分类讨论的思考问题，学会用方程的思想解决问题．

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